问题
解答题
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点，求：
（1）M到直线PQ的距离；
（2）M到平面AB1P的距离．
答案
如图，建立空间直角坐标系B-xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2）．
（1）∵
=（-2，-3，2），QM
=（-4，-2，-2），QP
∴
在QM
上的射影为QP
=
•QM QP |
|QP
=(-2)×(-4)+(-3)×(-2)+2×(-2) (-4)2+(-2)2+(-2)2
，5 6 6
故M到PQ的距离为
=
2-(QM
)25 6 6
．462 6
（2）设
=（x，y，z）是平面AB1P的法向量，则n
⊥n
，AB1
⊥n
，AP
∵
=（-4，0，4），AB1
=（-4，4，0），AP
∴
．-4x+4z=0 -4x+4y=0
因此可取
=（1，1，1），由于n
=（2，-3，-4），MA
那么点M到平面AB1P的距离为d=
=|
•MA
|n |
|n
=|2×1+(-3)×1+(-4)×1| 3
，5 3 3
故M到平面AB1P的距离为
．5 3 3
