问题 解答题

已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有2an=Sn+n.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设f(n)=n2 (n∈N*),试比较Sn与f(n)的大小,并说明理由.

答案

(Ⅰ)当n=1时,2a1=a1+1∴a1=1…(1分)

∵2an=Sn+n,n∈N*,∴2an-1=Sn-1+n-1,n≥2,

两式相减得an=2an-1+1,n≥2,即an+1=2(an-1+1),n≥2,

令bn=an+1,则

bn
bn-1
=2,n≥2且b1=a1+1=2,

所以bn=b1•2n-1=2×2n-1=2n.n∈N*

∴an=2n-1,n∈N*…(7分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)an=2n-1,n∈N*

得Sn=(2+22+23+…+2n)-n

=

2(1-2n+1)
1-2
-n

=2n+1-n-2

当n=1,2时,Sn=f(n);当n≥3时,Sn>f(n)…(9分)

只需证2n+1>n2+n+2,n≥3,

利用(1+1)2=

C0n
+
C1n
+
C2n
+…+
Cnn
C0n
+
C1n
+
C2n
=
1
2
(n2+n+2)

∴2n+1>n2+n+2,n≥3.…(13分)

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