问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有2an=Sn+n.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设f(n)=n2 (n∈N*),试比较Sn与f(n)的大小,并说明理由.
答案
(Ⅰ)当n=1时,2a1=a1+1∴a1=1…(1分)
∵2an=Sn+n,n∈N*,∴2an-1=Sn-1+n-1,n≥2,
两式相减得an=2an-1+1,n≥2,即an+1=2(an-1+1),n≥2,
令bn=an+1,则
=2,n≥2且b1=a1+1=2,bn bn-1
所以bn=b1•2n-1=2×2n-1=2n.n∈N*,
∴an=2n-1,n∈N*…(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)an=2n-1,n∈N*,
得Sn=(2+22+23+…+2n)-n
=
-n2(1-2n+1) 1-2
=2n+1-n-2
当n=1,2时,Sn=f(n);当n≥3时,Sn>f(n)…(9分)
只需证2n+1>n2+n+2,n≥3,
利用(1+1)2=
+C 0n
+C 1n
+…+C 2n
>C nn
+C 0n
+C 1n
=C 2n
(n2+n+2).1 2
∴2n+1>n2+n+2,n≥3.…(13分)