问题
解答题
已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点
(1)求证:直线AF∥平面BEC1
(2)求A到平面BEC1的距离.
答案
(1)取BC1的中点H,连接HE、HF,
则△BCC1中,HF∥CC1且HF=
CC11 2
又∵平行四边形AA1C1C中,AE∥CC1且AE=
CC11 2
∴AE∥HF且AE=HF,可得四边形AFHE为平行四边形,
∴AF∥HE,
∵AF⊄平面REC1,HE⊂平面REC1
∴AF∥平面REC1.…(6分)
(2)等边△ABC中,高AF=
AB=3 2
,所以EH=AF=3 3
由三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,得C1到平面AA1B1B的距离等于3
∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得EH⊥BC1
可得S△BEC1=
BC1•EH=1 2
×1 2
×42+22
=3
,15
而S△ABE=
AB×BE=21 2
由等体积法得VA-BEC1=VC1-BEC,
∴
S△BEC1×d=1 3
S△ABE×1 3
,(d为点A到平面BEC1的距离)3
即
×1 3
×d=15
×2×1 3
,解之得d=3 2 5 5
∴点A到平面BEC1的距离等于
.…(12分)2 5 5