问题 解答题

已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点

(1)求证:直线AF平面BEC1

(2)求A到平面BEC1的距离.

答案

(1)取BC1的中点H,连接HE、HF,

则△BCC1中,HFCC1且HF=

1
2
CC1

又∵平行四边形AA1C1C中,AECC1且AE=

1
2
CC1

∴AEHF且AE=HF,可得四边形AFHE为平行四边形,

∴AFHE,

∵AF⊄平面REC1,HE⊂平面REC1

∴AF平面REC1.…(6分)

(2)等边△ABC中,高AF=

3
2
AB=
3
,所以EH=AF=
3

由三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,得C1到平面AA1B1B的距离等于

3

∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得EH⊥BC1

可得SBEC1=

1
2
BC1•EH=
1
2
×
42+22
×
3
=
15

而S△ABE=

1
2
AB×BE=2

由等体积法得VA-BEC1=VC1-BEC

1
3
SBEC1×d=
1
3
S△ABE×
3
,(d为点A到平面BEC1的距离)

1
3
×
15
×d=
1
3
×2×
3
,解之得d=
2
5
5

∴点A到平面BEC1的距离等于

2
5
5
.…(12分)

单项选择题
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