问题
解答题
已知正四面体ABCD的棱长为a．
（1）求证：AC⊥BD
（2）求AC与BD的距离．
（3）求它的内切球的半径．
答案
（1）证明：取AC中点E
∵AD=DC，AB=BC
∴AC⊥DE，AC⊥BE
∴AC⊥平面BDE
∴AC⊥BD
（2）取BD中点F，则，EF⊥BD
同理可证EF⊥AC
∴EF为AC与BD的距离
∵正四面体ABCD的棱长为a
∴DE=
a3 2
∴EF=
a2 2
（3）设内切球心为O，半径为r
∵VA-BCD=VO-ABC+VO-PAB+VO=PBC+VO-PAC
∴r=
a6 12
