法一：根据题意，6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6

=6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+C_nⁿ-1

=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1

=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-1

又由n为奇数，则6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-2，

且C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8可以被8整除，

则6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余数是6；

法二，根据题意，n∈N^*，且n为奇数，

在6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6中，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6=6，

6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余数是6．

故答案为：6．