若An9=12An-29（n∈N），且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+

问题解答题

若

=12

n-29

（n∈N），且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，求：
（1）n的值
（2）a₁+a₂+…+a_n
（3）（2-x）ⁿ的展开式中所有偶数项系数的和．

答案

（1）由题意可把原方程变形为

(9-n)!

=12

(11-n)!

，可解出n=7或n=14．

又因为n满足：

0≤n≤9

0≤n-2≤9

所以2≤n≤9，∴n=7．…（4分）

（2）令x=1得a₀+a₁+a₂+…a_n=1．

令x=0得a0=27=128，∴a₁+a₂+…+a_n=-127．…（8分）

（3）所有偶数项系数之和即为：a₁+a₃+a₅+a₇

令x=1得a₀+a₁+a₂+…a_n=1．

令x=-1得a0-a1+a2-…-a7=37

联立两式解出偶数项的系数和为 a1+a3+a5+a7=

1-37

=-1093．…（12分）