若（a-2x）5展开式中x2的系数为40，且(a-2x)5=a0+a1x+a2x

问题解答题

若（a-2x）⁵展开式中x²的系数为40，且(a-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．

（1）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2的值；

（2）求|a₀|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|的值；

（3）求a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅的值．

答案

由题知

a³（-2x）²=40a³x²，

∴40a³=40，∴a=1，

即（a-2x）⁵=（1-2x）⁵，

设f（x）=（1-2x）⁵，

（1）(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=（a₀+a₁+…+a₅）（a₀-a₁+…-a₅）=f（1）f（-1）=-3⁵=-243．

（2）令g（x）=（1+2x）⁵，

则|a₀|+|a₁|+…+|a₅|=g（1）=3⁵=243；

（3）由于f（x）=（1-2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，

∴f′（x）=-10（1-2x）⁴=a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+5a₅x⁴，

∴f′（1）=-10（1-2）⁴=a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅=-10．