∵（1+x）ⁿ=1+

C

1n

x+

C

2n

x²+…+

C

nn

xⁿ，两边同时对x求导数，可得

n（1+x）^n-1=

C

1n

+2x

C

2n

+3x²

C

3n

+…+nx^n-1

C

nn

，（A）

再令x=1，可得n2^n-1=

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

，故①正确．

在（A）式中，令x=-1，可得0=

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

，故②正确．

∵k•k!=[（k+1）-1]•k!=（k+1）!-k!，

∴1×1!+2×2!+3×3!+…+n•n!=[2!-1!]+[3!-2!]+[4!-3!]+…+[（n+1）!-n!]=（n+1）!-1，

故③正确．

∵等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ成立，

利用二项式定理可得等式左边xⁿ的系数为

C 0n C

nn

+

C 1n C

n-1n

+

C 2n C

n-2n

+…+

C

nn

•

C

0n

=

(C

0n

)2+

(C

1n

)2+

(C

2n

)2+…+

(C

nn

)2．

而等式右边利用二项式定理可得xⁿ的系数为

C

n2n

=

(2n)!

(2n-n)!•n!

=

(2n)!

n!•n!

，

故

C 0n C

nn

+

C 1n C

n-1n

+

C 2n C

n-2n

+…+

C nn C

nn

=

(2n)!

n!×n!

成立，

故④正确．

故选D．