问题 解答题
已知(1+2
x
)n
的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而等于它后一项的系数的
5
6

(1)求该展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
答案

(1)第r+1项系数为Cnr•2r,第r项系数为Cnr-1•2r-1,第r+2项系数为Cnr+1•2r+1

依题意得到

Crn
2r=2•
Cr-1n
2r-1
Crn
=
5
6
Cr+1n
2r+1
,即
2r=n-1
5(n-r)=3(r-1)
,解得n=7,

所以二项式系数最大的项是第4项和第5项.

所以T4=

C37
(2
x
)
3
=280x
5
2
T5=
C47
(2
x
)
4
=560x2

(2)设第r+1项的系数最大,则

Crn
2r
Cr-1n
2r-1
Crn
Cr+1n
2r+1

解得

13
3
≤r≤
16
3

又因为r∈N,所以r=5

∴展开式中系数最大的项为T6=

C57
(2
x
)5=672•x
5
2

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