问题
解答题
在（2x-3y）10的展开式中，求：
（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和；
（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
答案
(1) 210 (2) 1(3) 29（4）
（5）
设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10 (*)
各项系数和即为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和a0+a2+a4+…+a10.
由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
（1）二项式系数和为C
+C
+…+C
=210.
（2）令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
（3)奇数项的二项式系数和为C+C
+…+C=29,
偶数项的二项式系数和为C+C
+…+C
=29.
(4)设（2x-3y）10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10
令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10="1 " ①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1)
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510 ②
①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,
∴奇数项的系数和为；
①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,
∴偶数项的系数和为.
（5）x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=;
x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=.