问题 填空题

已知二面角α-AB-β为120°,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=a,则CD的长为______.

答案

由题意,作出如图的图象,在平面β中可过A作AB的垂线,过D作BD的垂线,两者交于E连接CE,

由作图知,四边形ABDE是矩形,故有DE=AB=a,AE=BD=a,AE⊥AB

又AC⊥AB,易得AB⊥面ACE,即有CE⊥AB,进而得CE⊥DE

有二面角的平面角的定义知,∠CAE=120°

在△CAE中,由余弦定义可得CE2=a2+a2-2×a2×(-

1
2
)=3a2,故CE=
3
a

在直角三角形CED中,由勾股定理得CD2=DE2+CE2=a2+3a2=4a2

可得CD的长为2a

故答案为:2a.

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