问题
解答题
已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的动点．
（1）当E恰为棱CC1的中点时，试证明：平面A1BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1﹣BD﹣E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由．
答案
（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A1O，OE，
在等边△A1BD中，BD⊥A1O，
∵BD⊥A1E，A1O
平面A1OE，A1O∩A1E=A1，
∴BD⊥平面A1OE，于是BD⊥OE，
∴∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设棱长为2a，
∵E是棱CC1的中点，
∴由平面几何知识，得 
， 
，A1E=3a，满足 
，
∴∠A1OE=90°，即平面A1BD⊥平面EBD．
（2）解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
假设棱CC1上存在点E，可以使二面角A1﹣BD﹣E的大小为45°，
由（1）知，∠A1OE=45°，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a，EC=x，
由平面几何知识，得EO= 
，
，
，
∴在△A1OE中，由 
，
得x2﹣8ax﹣2a2=0，解得 
，
∵
，
∴棱OC1上不存在满足条件的点．