问题 填空题

二面角α-l-β的平面角为120°,在 平面 α内,AB⊥l于B,AB=3,在平面β内,CD⊥l于D,CD=4,BD=5,M是棱l上的一个动点,则AM+CM的最小值为______.

答案

如图所示,①

设点M位于BD之间,令BM=x,则DM=5-x.

于是AM=

32+x2
,CM=
(5-x)2+42

∴AM+CM=

9+x2
+
x2-10x+41
≥2
9+x2
x2-10x+41
,当且仅当
9+x2
=
x2-10x+41
,解得x=3.2时取等号.

∴AM+CM的最小值为2

9+3.22
=2
19.24

②当M位于直线l上除去线段BD时,可得AM+CM>

32+52
+4,AM+CM
42+52
+3

34
+4>2
19.24
41
+3>2
19.24

∴此时AM+CM>2

19.24

综上①②可知:当点M位于BD之间且BM=3.2时,AM+CM取得最小值2

19.24

故答案为2

19.24

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