二面角α-l-β的平面角为120°,在 平面 α内,AB⊥l于B,AB=3,在平面β内,CD⊥l于D,CD=4,BD=5,M是棱l上的一个动点,则AM+CM的最小值为______.
如图所示,①
设点M位于BD之间,令BM=x,则DM=5-x.
于是AM=
,CM=32+x2
,(5-x)2+42
∴AM+CM=
+9+x2
≥2x2-10x+41
,当且仅当9+x2• x2-10x+41
=9+x2
,解得x=3.2时取等号.x2-10x+41
∴AM+CM的最小值为2
=29+3.22
.19.24
②当M位于直线l上除去线段BD时,可得AM+CM>
+4,AM+CM>32+52
+3,42+52
而
+4>234
,19.24
+3>241
,19.24
∴此时AM+CM>2
.19.24
综上①②可知:当点M位于BD之间且BM=3.2时,AM+CM取得最小值2
.19.24
故答案为2
.19.24