问题
解答题
(1)求证：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除；
(2)求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．
答案
(1)见解析 (2)见解析
证明：(1)原式＝4(5＋1)n＋5n－4
＝4(C n05n＋C n15n－1＋Cn25n－2＋…＋Cnn)＋5n－4
＝4(C n05n＋C n15n－1＋…＋C nn-2·52＋C nn-1·51＋1)＋5n－4
＝4(C n05n＋C n15n－1＋…＋C nn-2·52)＋25n，
以上各项均为25的整数倍，故得证．
(2)因为1＋3＋32＋…＋33n－1＝
＝
(33n－1)
＝ (27n－1)＝ [(26＋1)n－1]．
而(26＋1)n－1＝C n026n＋C n126n－1＋…＋C nn-126＋Cnn260－1
＝Cn026n＋Cn126n－1＋…＋Cnn-126
因为n为大于1的偶数，所以原式能被26整除．