问题
解答题
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和BC的中点,EF与BD交于点G. (1)求二面角B1-EF-B的正切值; (2)M为棱BB1上的一点,当
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答案
(1)在底面ABCD中,∵AC⊥BD,EF∥AC,∴BG⊥EF,连接B1G.
又∵BB1⊥ABCD,∴B1G⊥EF.
则∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角,BG=
BD=1 4
a,2 4
tan∠B1GB=
=2B1B BG
.2
(2)当
=1时满足题意.B1M MB
证明:D1A1⊥面AB1,知D1M在面AB1的射影是A1M,
∵△A1MB≌△B1EB,∴A1M⊥B1E,即D1M⊥B1E.
因为DD1⊥平面ABCD,所以BD为D1M在平面ABCD内射影,
连接AC,因为E、F为中点,所以AC∥EF,
又因为BD⊥EF,所以D1M⊥EF.又因为B1E∩EF=E.
∴D1M⊥平面EFB1