（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A₁O，OE，

在等边△A₁BD中，BD⊥A₁O，

∵BD⊥A₁E，A₁O⊂平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，

∴BD⊥平面A₁OE，

于是BD⊥OE，

∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2a，

∵E是棱CC₁的中点，

∴由平面几何知识，得EO=

3

a，A1O=

6

a，A₁E=3a，

满足A1E2=A1O2+EO2，

∴∠A₁OE=90°，即平面A₁BD⊥平面EBD．

（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

假设棱CC₁上存在点E，可以使二面角A₁-BD-E的大小为45°，

由（1）知，∠A₁OE=45°，

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，EC=x，

由平面几何知识，得EO=

2a2+x2

，A1O=

6

a，A1E=

8a2+(2a-x)2

，

∴在△A₁OE中，由A1E2=A1O2+EO2-2A1O•EO•cos∠A1OE，

得x²-8ax-2a²=0，

解得x=4a±3

2

a，

∵4a+3

2

a＞2a，4a-3

2

a＜0，

∴棱OC₁上不存在满足条件的点．