在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠

问题解答题

在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．

（I）若点E是棱CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；

（II）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．

答案

（I）证明：（1）连接CD₁∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形

∴A₁D₁∥AD，AD∥BC，A₁D₁=AD，AD=BC；

∴A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴四边形A₁BCD₁为平行四边形；

∴A₁B∥D₁C（3分）

∵点E、F分别是棱CC₁、C₁D₁的中点；

∴EF∥D₁C

又∴EF∥A₁B又∵A₁B⊂平面A₁DB，EF⊂面A₁DB；∴EF∥平面A₁BD（6分）

（II）连接AC交BD于点G，连接A₁G，EG

∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形

∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，AD=AB，BC=CD

∵底面ABCD是菱形，∴点G为BD中点，∴A₁G⊥BD，EG⊥BD

∴∠A₁GE为直二面角A₁-BD-E的平面角，∴∠A₁GE=90°（3分）

在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，∴∠ABC=120°，

∴AC=

AB2+BC2-2AB•BC•cos1202

∴AG=GC=

（10分）

在面ACC₁A₁中，△AGA₁，△GCE为直角三角形

∵∠A₁GE=90°∴∠EGC+∠A₁GA=90°，

∴∠EGC=∠AA₁G，

∴Rt△A₁AG∽Rt△ECG（12分）

∴

AA1

⇒EC=

所以当EC=

时，A₁-BD-E为直二面角．（15分）