问题 解答题

(理科做)(1)证明:面APC⊥面BEF;

(2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值.

答案

证明:

(理)(1)连接EP、EC,由题可知
BP=BC=2
2

∴BF⊥PC,又△PAE≌△CDE,∴EP=EC,

∴EF⊥PC,且EF∩BF=F,

故PC⊥面BEF,又PC⊂面APC,

∴面APC⊥面BEF;

(2)在△PCD中作DG⊥PC交PC于点G,则DG=

PD•CD
PC
=
2×2
3
4
=
3

又由DG2=CD•PG得CG=1,

∴点G为CF的中点,取BC中点H,

连接GH、HD,则GH\mathoplimits=BF,GH=1,

∴GH⊥PC,∠HGD为二面角的平面角,

Rt△CDH中可得HD=

6

∴COS∠HGD=

3+1-6
2×1×
3
=-
3
3

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