问题
问答题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
答案
参考答案：由题设，三条直线交于一点等价于线性非齐次方程组
有唯一解．下面先证必要性，设系数矩阵为A，增广矩阵为B，则
方程组①有唯一解，则r(A)=r(B)=2，因而|B|=0，即
=3(a+b+c)r(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=0．
由已知3条直线不相同，从而
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，
因此a+b+c=0．至此，必要性得证．
再证充分性，由于a+b+c=0，则|B|=0，因此，r(B)≤2．又因为
由此r(A)=2，所以r(A)=r(B)=2，则方程组①有唯一解，也即三条直线交于一点．充分性得证．
解析：[考点提示] 线性非齐次代数方程组．
注 本题的另外一种证法是：
(1) 必要性：设三条直线交于一点(x0，y0)，则[*]是Ax=0的非零解，其中
[*]
因此|A|=0，即
|A|=-3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]．
由于(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0，知a+b+c=0．
(2) 充分性：由方程组[*]的三个方程相加，并结合a+b+c=0，知上述方程等价于以下方程组
[*]
由于
[*]
=[a2+2ab+b2+a2+b2]=-[(a+b)2+a2+b2]≠0．
因此原方程组解唯一，从而三条直线交于一点．