问题
问答题
设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，且存在q∈(0，1)，使得|f’(x)|≤q|f(x)|．证明：f(x)≡0．
答案
参考答案：因为f(x)在[0，1]上连续，所以|f(x)|在[0，1]上连续，由闭区间上连续函数的性质，存在c∈[0，1]，使得[*]
由微分中值定理得
M=|f(c)|=|f(c)-f(0)|=|f’(ξ)|c(其中ξ介于0与c之间)．
又由|f’(c)|≤q|f(x)|得
M=|f’(ξ)|c≤|f’(ξ)|≤q|f(ξ)|≤qM，
因为q∈(0，1)且M≥0，所以M=0，故f(x)≡0．