问题
解答题
从平面α外一点P向平面α引垂线PO与斜线PA、PB,垂足为A、B.
(1)若∠APB=60°,PA、PB分别和α成30°、45°角,求cos∠AOB的值;
(2)若PA、PB和平面α所成角的差为45°,且AO=2,BO=12,求PO的长;
(3)若PA:PB=2:3,PA、PB与α所成的角之比依次为2:1,求PB与α所成角的正弦值.
答案
(1)设PO=x,则有PA=2x,OA=
x,OB=x,PB=3
x2
在△PAB中,AB2=(6-2
)x22
在△OAB中,cos∠AOB=
=(2
-2)x22 2
x23
;
-6 3 3
(2)由题意,设∠PBO=α,则∠PAO=45°+α
∴PO=2tan(α+45°)=12tanα,
∴tanα=
或tanα=1 2 1 3
∴P0=6或4;
(3)设PA=2a,PB=3a,∠PBO=β,则∠PAO=2β
∴2asin2β=3asinβ
∴cosβ=3 4
∴sinβ=7 4