问题 解答题

从平面α外一点P向平面α引垂线PO与斜线PA、PB,垂足为A、B.

(1)若∠APB=60°,PA、PB分别和α成30°、45°角,求cos∠AOB的值;

(2)若PA、PB和平面α所成角的差为45°,且AO=2,BO=12,求PO的长;

(3)若PA:PB=2:3,PA、PB与α所成的角之比依次为2:1,求PB与α所成角的正弦值.

答案

(1)设PO=x,则有PA=2x,OA=

3
x,OB=x,PB=
2
x

在△PAB中,AB2=(6-2

2
)x2

在△OAB中,cos∠AOB=

(2
2
-2)x2
2
3
x2
=
6
-
3
3

(2)由题意,设∠PBO=α,则∠PAO=45°+α

∴PO=2tan(α+45°)=12tanα,

tanα=

1
2
tanα=
1
3

∴P0=6或4;

(3)设PA=2a,PB=3a,∠PBO=β,则∠PAO=2β

∴2asin2β=3asinβ 

cosβ=

3
4

sinβ=

7
4

单项选择题 A1/A2型题
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