解法一：(1)如图，连结B₁D₁，

∵E、F分别是B₁C₁和C₁D₁的中点，

∴EF∥B₁D₁，

则AD₁与EF所成的角等于AD₁与B₁D₁所成的角，∠AD₁B₁即为所求，

由正方体的性质得△AD₁B₁为等边三角形，

∴∠AD₁B₁=60°，

故AD₁与EF所成角的大小为60°．    

(2)∵平面AA₁D₁D∥平面BEB₁，

∴AF与平面BEB₁所成的角等于AF与平面AA₁D₁D所成的角，

又AF与平面AA₁D₁D所成的角为∠FAD₁，

在△FAD₁中，AD₁=，FD₁=，FA=,

∴ cos∠FAD₁=    

(3)取B1D₁中点O，BD中点P，连结C₁O，C₁P，OP，则OP⊥BD，C₁P⊥BD，

∴∠C₁PO为二面角C₁-DB-B₁的平面角．

在Rt△OPC₁中，C₁O=，OP =1，

:. tan ∠C₁PO =