设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等均为1，AC的中点为O，则由题意得 A₁O⊥面ABC．

则 A₁O=

A1A2-AO2

=

1- 3 4

=

1

2

．

Rt△则 A₁OB中，A₁B=

A1O2+BO2

=

1 4 + 1 4

=

2

2

．

△A₁BA中，由余弦定理可得 AB²=A₁B²+A₁A²-2A₁A•A₁Bcos∠AA₁B，

即 1=

2

4

+1-2×1×

2

2

cos∠AA₁B，∴cos∠AA₁B=

2

4

．

由题意可得∠AA₁B即为异面直线A₁B与CC₁所成的角，

故选 D．