参考答案：(Ⅰ) 令ξ₁，ξ₂…，ξ_n-r为AX=0的基础解系，町0为AN=b的特解，显然β₀=η₀，β₁=ξ₁+η₀，…，β_n-r=ξ_n-r+η₀为AN=b的一组解，令k₀β₀+k₁β₁+…+k_n-rβ_n-r=0，即
k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r+(k₀+k₁+…+k_n-r)η₀=0．
上式左乘A得(k₀+k₁+…+k_n-r)b=0，因为b≠0时，k₀+k₁+…+k_n-r=0，于是k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-rξ_n-r=0，因为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r为AX=0的基础解系，所以k₁=k₂=…=k_n-r=0，于是k₀=0，故β₀，β₁，…，β_n-r线性无关．
若γ₀，γ₁，…，γ_n-r+1，为AX=b的线性无关解，则ξ₁=γ₁-γ₀，…，ξ_n-r+1=γ_n-r+1-γ₀为AX=0的解，令k₁ξ₁+k_2rξ₂+…+k_n-r+1ξ_n-r+1=0，则
k₁γ₁+k₂γ₁+…+k_n-r+1γ_n-r+1一(k₁+k₂+…+k_n-r+1)γ₀=0．
因为γ₀，γ₁，…，γ_n-r+1线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n-r+1=0，即ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r+1，为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．
[*]=β．因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4-r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以[*]
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