已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为侧面AB1的中心，F为棱A

问题解答题

已知棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为侧面AB₁的中心，F为棱A₁D₁的中点，试计算：
（1）

•

FC1

；
（2）求证EF⊥面AB₁C；
（3）求ED₁与面CD₁所成角的余弦值．

答案

以AB，AD，AA₁的方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标互AO为坐标原点，A，B，C，D，A₁，B₁，C₁，D₁，E，F的坐标分别为（0，0，0），（4，0，0），（4，4，0），（0，4，0），（0，0，4），（4，0，4），（4，4，4），（0，4，4），（2，0，2），（0，2，4）

（1）

=(-2，2，2)，

FC1

=(4，2，0)

•

FC1

=-4

（2）∵

•

AB1

=0，

•

B1C

=0∴EF⊥AB₁EF⊥B₁C

从而EF⊥面AB₁C

（3）

ED1

=-(-2，4，2)面CD₁的法向量可取

=(0，4，0)，设ED₁与面CD₁所成的角为θ

则sinθ=

ED1

|•|

×4

cosθ=

1-sin2θ

故所求角的余弦值为

．