某旅游度假村有一游泳池,装有若干根彼此相同的进水管,以及若干根彼此相同的出水管,每根水管进水或出水的速度都保持不变.游泳池中现已装有部分水,如果打开1根进水管,8根出水管,30分钟可将水池中的水全部排光.如果打开1根进水管,5根出水管,60分钟可将水池中的水全部排光.现在打开1根进水管和2根出水管,然后每隔5分钟就增开1根进水管和3根出水管,直到打开第n根进水管5分钟后,水池中的水正好全部排光,即停止操作,求:n是多少?
由题意可知,只开8-5=3根排水管,60-30=30分钟能排完水的一半;
则只开6根出水管30分钟就能排完,如果单开一根出水管的话,则需要30×6=180分钟排完,
又由于开1根进水管,8根出水管,30分钟可将水池中的水全部排光,
所以一根进水管的进水量相当于8-6=2根排水管的出水量.
由此可知,单开一根排水管5分钟可排水池水的
=5 180
,1 36
由于直到打开第n根进水管5分钟后,水池中的水正好全部排光,则:
+1 36
×2+1 36
×3+…1 36
×n=11 36
即
+1 36
+2 36
+…+3 36
=1,n 36
所以1+2+3+…+n=36,
即(n+1)×n÷2=36,
=36,n2+n 2
经验证,n=8.
则打开第8+1=9根进水管5分钟后,水池中的水正好全部排光,即n=9.