问题 计算题

(20分)

如图12所示,A、B是两块竖直放置的平行金属板,相距为,分别带有等量的负、正电荷,在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场。A板上有一小孔(它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计),孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道,一个质量为,电荷量为的小球(可视为质点),在外力作用下静止在轨道的中点P处。孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道,轨道上距A板处有一固定档板,长为的轻弹簧左端固定在挡板上,右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q。撤去外力释放带电小粒,它将在电场力作用下由静止开始向左运动,穿过小孔后(不与金属板A接触)与薄板Q一起压缩弹簧,由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计,可认为小球与Q接触过程中不损失机械能。小球从接触 Q开始,经历时间T0第一次把弹簧压缩至最短,然后又被弹簧弹回。由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺,使得小球每次离开Q瞬间,小球的电荷量都损失一部分,而变成刚与Q接触时小球电荷量的。求:

(1)小球第一次接触Q时的速度大小;

(2)假设小球第次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板,试导出小球从第次接触 Q,到本次向右运动至最远处的时间T0的表达式;

(3)假设小球被第N次弹回两板间后向右运动最远处恰好到达B板,求N为多少。

答案

(1)

(2)

(3)N="log" k 2

(1)设小球第一次接触Q的速度为v,接触Q前的加速度为a

根据牛顿第二定律有E=ma …………………………………………………2分

对于小球从静止到与Q接触前的过程,根据运动学公式有v2=2al…………2分

联立解得v=………………………………………2分

(2)小球每次离开Q的瞬时速度大小相同,且等于小球第一次与Q接触时速度大小。……………………………………………………………………1分

设小球第1次离开Q向右做减速运动的加速度为a1,速度由v减为零所需时间为t1,小球离开Q所带电荷量为q1

根据牛顿第二定律有q1E=ma1……………………………………………1分

根据运动学公式有………………………………………………………………1分

根据题意可知小球第1次离开Q所带电荷量…………………………………1分

联立解得 ……………………………………………………………………1分

设小球第2次离开Q向右做减速运动的加速度为a2,速度由v减为零所需时间为t2,小球离开Q所带电荷量为q2

同理q2E=ma2

联立解得……………………………………………………………………1分

设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为an,速度由v减为零所需时间为tn,小球离开Q所带电荷量为qn

同理 qnE=man…………………………………………………1分

联立解得……………………………………………………………………1分

小球从第n次接触Q,到本次向右运动至最远处的时间……2分

(3)设小球第N次离开Q,向右运动的最远处恰好在B板处,这个过程中小球的加速度为aN,小球第N次离开Q所带电荷量为qN

对于小球第N次接触Q前,小球从P位置到与Q接触的过程中,

根据动能定理有qEl=,…………………………………………………………1分

对于小球第N次离开Q,向右运动至B板处的过程中,

根据动能定理有qNE2l= …………………………………………………………1分

根据上式有,又,所以kN =" 2" ………………………………………1分

       N="log" k 2……………………………………………………………………………………1分

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