问题
解答题
函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P（1，f(1)）的切线方程为y=3x+1；
（1）若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f(x)在[-3，1]上的最大值；
（3）若函数y=f(x)在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围。
答案
解：（1）由
，
求导数，得
，
过y=f(x)上点 P（1，f(1)）的切线方程为
，
即
，
而过y=f(x)上点P（1，f(1)）的切线方程为y=3x+1，
故
，即
，
∵y=f(x)在x=-2时有极值，
故
=0，∴-4a+b=-12， ③
由①②③式，联立解得a=2，b=-4，c=5，
∴
。
（2）
，
见下表：
∴
，
，
∴f(x)在[-3，1]上最大值为13。
（3）y=f(x)在区间 [-2，1]上单调递增，
又
，由（1）知2a+b=0，
∴ 依题意
在[-2，1]上恒有
，即
在[-2，1]上恒成立，
①当
时，
，∴b≥6；
②当
时，
，∴
；
③当
时，
，∴0≤b≤6；
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。