问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2，
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x1，x2∈（-1，1），不等式| f（x1）-f（x2）|＜4恒成立。
答案
解：（1）由奇函数的定义，应有
，x∈R，
即
，
∴d=0，
因此，
，
由条件f（1）=-2为f（x）的极值，必有f′（1）=0，
故
，解得a=1，c=-3，
因此，
，
，
当
时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间
上是增函数；
当
时，f′（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数；
当
时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间
上是增函数；
所以，f（x）在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=2。
（2）由（1）知，
是减函数，
且 f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2，
所以，对任意的
，
恒有
。