问题
解答题
已知函数f(x)=x3-ax2+3x+1，
(Ⅰ)设a=2，求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)设f(x)在区间(2，3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．
答案
解：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=x3-6x2+3x+1，
，
当
时，f′(x)＞0，f(x)在
上单调增加；
当
时，f′(x)＜0，f(x)在
上单调减少；
当
时，f′(x)＞0，f(x)在
上单调增加；
综上，f(x)的单调增区间是
和
，f(x)的单调减区间是
。
(Ⅱ)f′(x)=3[（x-a）2+1-a2]，
当1-a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；
当1-a2＜0时，f'′(x)=0有两个根，
，
由题意，
，①
或
，②，
①式无解，②式的解为
。
因此a的取值范围是
。