问题
选择题
[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
答案
答案：C
当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，
f′(x)＝xex－1，
∵f′(1)＝e－1≠0，
∴f(x)在x＝1处不能取到极值；
当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
令H(x)＝xex＋ex－2，
则H′(x)＝xex＋2ex>0，x∈(0，＋∞)．
说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，
且H(1)＝2e－2>0，H(0)＝－1<0，
因此当x0<x<1(x0为H(x)的零点)时，f′(x)<0，f(x)在(x0,1)上为减函数．
当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C.