问题
解答题
用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2∶1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
答案
容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3
.
题目分析：设长方体的宽为
m, 长为2x m，高为 
m，由实际意义得出
，长方体体积可写出容积
，对
求导
，知0<x<1时，V′(x)>0；当
时，V′(x)<0，则在
时有最大值，求之得最大容积．
解：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为 m,
由 
解得 
， 3分
故长方体的容积为
6分
从而 V′(x)＝
，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)， 8分
当0<x<1时，V′(x)>0；
当时，V′(x)<0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13 ＝ 3 , 10分
此时容器的高为4.5－3＝1.5 m,
因此，容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3 ． 12分