问题
解答题
已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a，b∈R)，g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数，
(Ⅰ)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．
答案
解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)=3ax2+2x+b，
因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b，
因为函数g(x)是奇函数，
所以g(-x)=-g(x)，
即对任意实数x，有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b]，
从而3a+1=0，b=0，
解得a=
，b=0，
因此f(x)的解析表达式为
。
(Ⅱ)由(I)知g(x)=
x3+2x，
所以g′(x)=-x2+2，
令g′(x)=0，解得
，
则当
或
时，g′(x)＜0，从而g(x)在区间
上是减函数；
当
时，g′(x)＞0，从而g(x)在区间
上是增函数。
由前面讨论知，g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x=1，，2时取得，
而
，
因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为
，最小值为
。