问题
解答题
一个完全平方数n的最后k(k≥2)位数字是相同的非零数字a,问:
(1)a为哪个数字?
(2)k最大为多少?
(3)当k最大时,写出最小的具有这样性质的数.(不必证明)
答案
(1)一个平方数的末位数字(非0)只能是1,4,5,6,9.
∴数n的末二位必然是11,44,55,66,99,
又n为平方数,
∴n≡0或1(mod4).
而末二位是11,55,99的数同余于3(mod4),
末二位是66的数同余于2(mod4).
∴a只能为4,如144=122.
(2)若至少有连续4个4,即n=m2=t?104+4444.
∴可设m=2m1,m12=25t?102+1111≡3(mod4).
同(1)可知,25t?102+1111不能为完全平方数.
∴至多连续3个4.(能够做到,见(3))
(3)当k最大时,最小的具有这样性质的数为1444=382.