问题 解答题

一个完全平方数n的最后k(k≥2)位数字是相同的非零数字a,问:

(1)a为哪个数字?

(2)k最大为多少?

(3)当k最大时,写出最小的具有这样性质的数.(不必证明)

答案

(1)一个平方数的末位数字(非0)只能是1,4,5,6,9.

∴数n的末二位必然是11,44,55,66,99,

又n为平方数,

∴n≡0或1(mod4).

而末二位是11,55,99的数同余于3(mod4),

末二位是66的数同余于2(mod4).

∴a只能为4,如144=122

(2)若至少有连续4个4,即n=m2=t?104+4444.

∴可设m=2m1,m12=25t?102+1111≡3(mod4).

同(1)可知,25t?102+1111不能为完全平方数.

∴至多连续3个4.(能够做到,见(3))

(3)当k最大时,最小的具有这样性质的数为1444=382

多项选择题 A3/A4型题
单项选择题