解：(1)依题意f(x)=lnx+x²-bx，x＞0，

因为f(x)在(0，+∞)上递增，

所以对x∈(0，+∞)恒成立，

即对x∈(0，+∞)恒成立，

所以只需，

因为x＞0，所以，当且仅当时取等号，

所以，

所以b的取值范围为。

(2)当a=1，b=-1时，f(x)=lnx-x²+x，其定义域是(0，+∞)，

所以，

因为x＞0，所以0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0，

所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，

所以当x=1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)=ln1-1²+1=0；

当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0；

所以函数f(x)只有一个零点．

(3)由已知得，即，

两式相减，得，

即，

由及2x₀=x₁+x₂，得

，

令，且，

因为，

所以ψ(t)在(0，1)上递减，所以ψ(t)＞ψ(1)=0，

因为x₁＜x₂，

所以f′(x₀)＜0。