问题
解答题
已知函数f（x）=lnx+x2。
（1）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若a>1，h（x）=x3-3ax，x∈[1，2]，求h（x）的极小值；
（3）设F（x）=2f（x）-3x2-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点，m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n，证明：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线不可能平行于x轴。
答案
解：（1）g（x）=f（x）-ax=lnx+x2-ax，
由题意，知g'（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，
即
又x>0，
，当且仅当
时等号成立
故
，
所以
。
（2）由（1）知，
由h'（x）=0，得
或
（舍去），
∴
∴
①若
，则h'（x）＜0，h（x）单调递减；
②若
，则h'（x）>0，h（x）单调递增
故当
时，h（x）取得极小值，
极小值为
。
（3）假设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，
其中F（x）=2lnx-x2-kx
结合题意有
，
①-②得
所以
，
由④得
所以
设
∈（0，1），⑤式变为
（u∈（0，1）），
设
所以函数
在（0，1）上单调递增，
因此，
，即
也就是，
，此式与⑤矛盾，
所以F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴。