长方体如图所示：

①连接A₁C₁，MN，

因为在长方体AC₁中，M、N分别是AB与BC的中点，

所以MN∥A₁C₁，并且MN=

1

2

A₁C₁，

所以直线A₁M与C₁N相交，

所以直线A₁M与C₁N的位置关系是：相交．

②取A₁B₁，B₁C₁的中点分别为E，F，连接BE，NF，

因为M，E分别为AB，A₁B₁的中点，

所以BE∥A₁M，同理BF∥C₁N，

所以∠EBF与所求角相等或者互补．

因为在长方体AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，

所以在△BEF中有：BE=2

2

，BF=

5

，EF=

5

，

所以cos∠EBF=

10

5

，

所以直线A₁M与C₁N所成角的大小是arccos

10

5

．

③设点A到对角线B₁D的距离是 h，

根据长方体的结构特征可得：AB1⊥AD，

所以△AB₁D为直角三角形，并且AD=2，AB₁=2

5

，B₁D=2

6

，

所以根据等面积法可得：h=

AD?AB1

B1D

=

30

3

．

故答案为：相交；arccos

10

5

；

30

3

．