解：（1）证明：当a=2时，f（x）=x²-2lnx，

当x∈（1，+∞）时，

故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数。

（2）

当a≤0时，f'（x）>0，

f（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1

若a>0，当时，f（x）单调递减；

当时，f（x）单调递增，

若，即0＜a≤2时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，

又f（1）=1，故函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为1

若，即a>2时，f（x）在上单调递减；

在上单调递增

又

故函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为

综上，当a≤2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为1；

当a>2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为。