问题 解答题

已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R)。

(1)若a=2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数;

(2)求f(x)在[1,+∞)上的最小值。

答案

解:(1)证明:当a=2时,f(x)=x2-2lnx,

当x∈(1,+∞)时,

故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数。

(2)

当a≤0时,f'(x)>0,

f(x)在[1,+∞)上单调递增,最小值为f(1)=1

若a>0,当时,f(x)单调递减;

时,f(x)单调递增,

,即0<a≤2时,f(x)在[1,+∞)上单调递增,

又f(1)=1,故函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为1

,即a>2时,f(x)在上单调递减;

上单调递增

故函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为

综上,当a≤2时,f(x)在[1,+∞)上的最小值为1;

当a>2时,f(x)在[1,+∞)上的最小值为

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