问题
解答题
已知f（x）=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上是增函数，在(0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）。
（Ⅰ）求c的值，并求出b和d的取值范围；
（Ⅱ）求证：f（x）≥2；
（Ⅲ）求β-α的取值范围，并写出当β-α取最小值时的f（x）的解析式。
答案
解：（Ⅰ）因为f（x）在(-∞，0]上是增函数，在(0，2]上是减函数，
所以x=0是f′（x）=0的根，
又
，
由f′（0）=0，得c=0，
又f（x）=0的根是α，2，β，
所以f（2）=0，所以8+4b+d=0，
又f′（2）≤0，
所以12+4b≤0，所以b≤-3，
又d=-8-4b，
所以d≥4；
（Ⅱ）因为
，
所以d=-8-4b，且b≤-3，
所以
；
（Ⅲ）因为f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β），
所以
，
所以
，
又b≤-3，
所以
，
当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4，
所以
。