由题意，对于相异直线a，b和不重合平面α，β

考察A选项，由a∥α，b∥α不能得出两线平行，这是因为平行于同一平面的两条直线可能是相交，平行或异面；

考察B选项，由a∥α，b∥β，α∥β不能得出两线平行，这是因为与两个平行平面平行的两条直线可能是相交平行或异面；

考察C选项，由a⊥α，b⊥β，α∥β可得出两线平行，这是因为b⊥β，α∥β可得b⊥α，再由a⊥α可得a∥b；

考察D选项，由 α⊥β，a⊥α，b∥β不能得出两线平行，这是因为在题设条件下，两线可能是异面的也可能是相交．

综上知，C选项符合条件

故选C