问题
解答题
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|。
答案
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为
当a≥0时，
，故f（x）在
单调增加
当a≤-1时，
，故f（x）在
单调减少
当-1<a<0时，令
，解得
则当
时，
时，
故f（x）在
单调增加，在
单调减少；
（Ⅱ）不妨假设x1>x2
由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调减少
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于 f（x2）-f（x1）≥4x1-4x2
即f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1
令g（x）=f（x）+4x，则
于是
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≤g（x2）
即f（x1）+4x1≤f（x2）+4x2
故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|。