问题
解答题
设a∈R,函数f(x)=-(x-1)2+2(a-1)ln(x+1),
(1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x-1,求a的值;
(2)当a<1时,讨论函数f(x)的单调性。
答案
解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),
,
因为f′(0)=4,所以a=2;
(Ⅱ)当a<0时,因为,
所以f′(x)<0,故f(x)在(-1,+∞)上是减函数;
当a=0时,当x∈(-1,0)时,,故f(x)在(-1,0)上是减函数,
当x∈(0,+∞)时,,故f(x)在(0,+∞)上是减函数,
因为函数f(x)在(-1,+∞)上连续,
所以f(x)在(-1,+∞)上是减函数;
当0<a<1时,由,得x=
或x=
,
x变化时,f′(x),f(x)的变化如情况下表:
所以f(x)在上为减函数、在
上为减函数;f(x)在
上为增函数;
综上,当a≤0时,f(x)在(-1,+∞)上是减函数;
当0<a<1时,f(x)在上为减函数、在
上为减函数;f(x)在
上为增函数。