问题
解答题
已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，t∈R，
（1）当t≠0时，求f(x)的单调区间；
（2）证明：对任意的t∈(0，+∞)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．
答案
解：（1）
，
令f′(x)=0，解得x=-t或
，
①当t＞0时，f′（x）＞0的解集为
；
∴f（x）的单调增区间为
，f（x）的单调减区间为
；
②当t＜0时，f′（x）＜0的解集为
，
∴f（x）的单调增区间为
，f（x）的单调减区间为
；
（2）由（1）可知，当t＞0时，f(x)在
内单调递减，在
内单调递增，
∴①当
即t≥2时，f(x)在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）单调递增，
，
所以对任意t∈[2，+∞)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点；
②当
即0＜t＜2时，f(x)在
内单调递减，在
内单调递增，
若
，
，
所以f(x)在
内存在零点；
若
，
f(0)=t-1＞0，
所以f(x)在
内存在零点；
所以，对任意t∈(0，2)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意t∈(0，+∞)，f(x)在区间（0，1）内均存在零点。