问题
解答题
设函数f（x）=ex﹣e﹣x
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f'（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．
答案
解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=ex+e﹣x．
由于
，
故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=ex+e﹣x﹣a，
（i）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ii）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为
，
此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，
故g（x）在该区间为减函数．
所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．
综上, 满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．
