问题
解答题
已知函数f（x）= xe-x（x∈R）。
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；
（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2>2。
答案
解：（1）f′（x）=（1-x）e-x
令f′（x）=0，解得x=1
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数
函数f（x）在x=1处取得极大值f（1），且
。
（2）证明：由题意可知g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）ex-2
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe-x+（x -2）ex-2
于是F′（x）=（x-1）（e2x-2-1）e-x，
当x>1时，2x-2>0，从而e2x-2-1 >0
又e-x>0，
所以F′（x）>0
从而函数F（x）在[1，+∞）上是增函数
又F（1）=e-1-e-1=0，
所以x>1时，有F（x）>F（1）=0，即f（x）>g（x）。
（3）①若（x1-1）（x2-1）=0，由（1）及f（x1）= f（x2），得x1=x2=1，与x1≠x2矛盾
②若（x1-1）（x2-1）>0，由（1）及f（x1）=f（x2），得x1=x2，与x1≠x2矛盾
根据①②得（x1-1）（x2-1）<0
不妨设x1<1，x2>1
由（2）可知，f（x2）>g（x2），g（x2）=f（2-x2），
所以f（x2）>f（2 -x2），
从而f（x1）>f（2-x2）
因为x2>1，
所以2-x2<1
又由（1）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数，
所以x1>2-x2，即x1+x2>2。