（1）证明：∵

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）

∴

3

×

1

2

+（-1）×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

  …（4分）

（2）由题意知

x

=（

t2+2 3 -3

2

，

3 t2-3 3 -2

2

），

y

=（

1

2

t-

3

k，

3

2

t+k）

又

x

⊥

y

故

x

•

y

=

t2+2 3 -3

2

×（

1

2

t-

3

k）+

3 t2-3 3 -2

2

×（

3

2

t+k）=0

整理得：t²-3t-4k=0即k=

1

4

t³-

3

4

t  …（4分）

（3）由（2）知：k=f（t）=

1

4

t³-

3

4

t

∴k′=f′（t）=

3

4

t²-

3

4

令k′＜0得-1＜t＜1；t＜-1或t＞1

故k=f（t）单调递减区间是（-1，1），单调递增区间是（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（4分）