问题
解答题
函数f（x）=x3﹣（a+1）x+a，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若y=f（x），y=g（x）在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程．
（Ⅱ）若F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增，求a的范围．
答案
解：（I）f'（x）=3x2﹣（a+1），g'（x）=lnx+1
∴f'（1）=2﹣a
g'（1）=1
∵两曲线在x=1处的切线互相垂直
∴（2﹣a）×1=﹣1
∴a=3
∴f'（1）=﹣1 f（1）=0
∴y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣1=0，
同理，y=g（x）在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0
（II）由F（x）=x3﹣（a+1）x+a﹣xlnx
得F'（x）=3x2﹣（a+1）﹣lnx﹣1=3x2﹣lnx﹣a﹣2
∵F（x）=f（x）﹣g（x）单调递增
∴F'（x）≥0恒成立 即a≤3x2﹣lnx﹣2
令h（x）=3x2﹣lnx﹣2
令h'（x）＞0得
，
令h'（x）＜0得
∴
∴a的范围为（-∞，
）。