问题
解答题
已知函数f（x）=ax2+2ln（x+1），其中a为实数．
（1）若f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（2）若f（x）在[2，3]上是增函数，求a的取值范围．
答案
（1）由已知得f（x）的定义域为（-1，+∞）
又f^(x)=2ax+2 x+1
∴由题意得f′（1）=2a+1=0
∴a=-1 2
（2）解法一：依题意得f′（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴2ax+
＞02 x+1
∴2ax＞-
，a＞2 1+x
=1 -x2-x 1 -(x+
)2+1 2 1 4
∵x∈[2，3]，∴-(x+
)2+1 2
的最小值为-(3+1 4
)2+1 2
=-121 4
∴
的最大值为-1 -(x+
)2+1 2 1 4 1 12
又因a=-
时符合题意∴a≥-1 12
为所求1 12
解法二：依题意得fn（x）＞0对x∈[2，3]恒成立，∴2ax+
＞0即2 x+1
＞0ax2+ax+1 x+1
∵1+x＞0，
∴ax2+ax+1＞0对x∈[2，3]恒成立
令g（x）=ax2+ax+1
（1）当a=0时，1＞0恒成立
（2）当a＜0时，抛物线g（x）开口向下，可得g（x）min=g（3）＞0
即9a+3a+1≥0，∴0＞a＞-
（1 12
（3）当a＞0时，抛物线g（x）开口向上，可得g（x）min=g（2）＞0
即4a+2a+1＞0，
∴a＞-
，即a＞01 6
又因a=-
时符合题意1 12
综上可得a≥-
为所求1 12