（1）已知函数f（x）=

ax

x2+b

，

∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．…（2分）

又函数f（x）在x=1处取得极值2，

∴

f′(1)=0 f(1)=2

，

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

，

∴f(x)=

4x

x2+1

．…（4分）

（2）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．…（5分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值-2	单调递增	极大值2	单调递减

所以f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为[-1，1]．…（7分）

若（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，

则有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，

解得-1＜m≤0．

即m∈（-1，0]时，（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间．…（9分）

（3）分两种情况讨论如下：

①当m≤-1时，由（2）得f（x）在（-∞，m]单调递减，

要使f（x）≥m恒成立，

必须f(x)min=f(m)=

4m

m2+1

≥m，…（10分）

因为m≤-1，

∴ 4 m2+1 ≤1，即m2+1≥4， ∴m2≥3

∴m≥

3

(舍去)或者m≤-

3

…（12分）

②当-1＜m＜1时，

由（2）得f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，m]单调递增，

要使f（x）≥m恒成立，

必须f（x）_min=f（-1）=-2≥m，

故此时不存在这样的m值．

综合①②得：满足条件的m的取值范围是m≤-

3

．         …（14分）