问题 解答题

已知函数f(x)=x3+3ax﹣1的导函数为f ′(x),g(x)=f ′(x)﹣ax﹣3.

(1)当a=﹣2时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若对满足﹣1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围;

(3)若xg′(x)+lnx>0对一切x≥2恒成立,求实数a的取值范围.

答案

解:(1)当a=﹣2时,f '(x)=3x2﹣6.令f '(x)=0得

故当或x>时  f '(x)>0,f '(x)单调递增;

时   f '(x)<0,f(x)单调递减.

所以函数f '(x)的单调递增区间为(,单调递减区间为

(2)因f '(x)=3a2+3a,故g(x)=3x2﹣ax+3a﹣3.

令g(x)=h(a)=a(3﹣x)+3x2﹣3,要使h(a)<0对满足﹣1≤a≤1的一切a成立,

解得

(3)因为g(x')=6x﹣a,

所以x(6x﹣a)+lnx>0即对一切x≥2恒成立.

令6x2+1﹣lnx=φ(x),

因为x≥2,所以φ'(x)>0,

故φ(x)在[2,+∞)单调递增,有φ(x)≥ φ(2)=25﹣ln2>0.

因此h'(x)>0,从而

a

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