问题
解答题
已知函数f（x）=x3+3ax﹣1的导函数为f ′（x），g（x）=f ′（x）﹣ax﹣3．
（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对满足﹣1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（3）若xg′（x）+lnx＞0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围．
答案
解：（1）当a=﹣2时，f '（x）=3x2﹣6．令f '（x）=0得
，
故当
或x＞
时 f '（x）＞0，f '（x）单调递增；
当
时 f '（x）＜0，f（x）单调递减．
所以函数f '（x）的单调递增区间为（
，单调递减区间为
；
（2）因f '（x）=3a2+3a，故g（x）=3x2﹣ax+3a﹣3．
令g（x）=h（a）=a（3﹣x）+3x2﹣3，要使h（a）＜0对满足﹣1≤a≤1的一切a成立，
则
，
解得
；
．
（3）因为g（x'）=6x﹣a，
所以x（6x﹣a）+lnx＞0即
对一切x≥2恒成立．
，
令6x2+1﹣lnx=φ（x），
．
因为x≥2，所以φ'（x）＞0，
故φ（x）在[2，+∞）单调递增，有φ（x）≥ φ（2）=25﹣ln2＞0．
因此h'（x）＞0，从而
．
a
．